La era digital ha estimulado el surgimiento de industrias enteras, enfocadas en simular nuestro mundo y los objetos dentro de él. La simulación es lo que ayuda a las películas a tener efectos realistas, los fabricantes de automóviles prácticamente prueban los automóviles y los científicos analizan los datos geofísicos.

Para simular sistemas físicos en 3D, los investigadores a menudo programan computadoras para dividir objetos en conjuntos de elementos más pequeños, un procedimiento conocido como ‘mallado’. La mayoría de las mallas se aproximan a objetos en mosaico 2D con patrones de triángulos o cuadrángulos (quads) y objetos en mosaico 3D con patrones de pirámides triangulares (tetraedros) o cubos curvos (hexahedra o «hexes»).

Si bien se ha avanzado mucho en la geometría computacional y el procesamiento de la geometría, los científicos aún no comprenden sorprendentemente la matemática de apilar cubos cuando se les permite doblar o estirar un poco. Quedan muchas preguntas sobre los patrones que se pueden formar al pegar elementos cúbicos, lo que pertenece a un área matemática llamada topología.

Nuevo trabajo de MIT Laboratorio de informática e inteligencia artificial. (CSAIL) quiere investigar varias de estas preguntas. Los investigadores han publicado una serie de artículos que abordan las deficiencias de las herramientas de mallado existentes al buscar la estructura matemática del problema. En colaboración con científicos de la Universidad de Berna y la Universidad de Texas en Austin, su trabajo muestra cómo áreas matemáticas como la geometría algebraica, la topología y la geometría diferencial pueden mejorar las simulaciones físicas utilizadas en el diseño asistido por computadora (CAD), la arquitectura, los juegos, y otros sectores.

«Las herramientas de simulación implementadas ‘en la naturaleza’ no siempre fallan claramente», dijo el profesor asociado del MIT Justin Solomon, autor principal de los tres nuevos artículos relacionados con la malla. «Si hay algo mal con la malla, la simulación puede no ser consistente con la física del mundo real y es posible que tenga que tirar todo».

En un pedazo de papel, un equipo dirigido por la estudiante del MIT Zoë Marschner desarrolló un algoritmo para solucionar problemas que a menudo pueden comprometer los enfoques existentes de mallado hexadecimal.

Por ejemplo, algunas mallas contienen elementos que están parcialmente al revés o que se cortan de una manera que no se puede detectar desde sus superficies externas. El algoritmo del equipo funciona en iteraciones para restaurar esas mallas de una manera que desentrañe tales reversiones y se mantenga fiel a la forma original.

«Problemas espinosos de topología sin resolver están apareciendo en todo el universo de mallas hexadecimales», dice Marschner. «Hasta que los descubramos, nuestros algoritmos a menudo fallarán de manera sutil».

El algoritmo de Marschner utiliza una técnica llamada «relajación de suma de cuadrados (SOS)» para determinar exactamente dónde se invierten los elementos hexadecimales (que los investigadores describen como «inválidos»). Luego mueve los vértices del elemento hexadecimal para que el hex sea válido donde antes era más inválido. El algoritmo repite este procedimiento para restaurar el hex.

Además de aparecer esta semana en el Simposio sobre Procesamiento de Geometría, el trabajo de Marschner le valió el Premio Anna Pogosyants UROP 2020 del MIT.

UNA segundo papel Bajo la dirección del candidato a doctorado Paul Zhang, la malla mejora incorporando curvas, bordes y otras características que proporcionan pistas importantes sobre el sistema visual humano y los algoritmos de reconocimiento de patrones.

Puede ser difícil para las computadoras encontrar estas características de manera confiable, y mucho menos integrarlas en mallas. Usando una construcción existente llamada «campo de marco octaédrico» Usado tradicionalmente para mezclar volúmenes 3D, Zhang y su equipo han podido desarrollar cuchillas de superficie 2D sin depender de métodos poco confiables que intentan detectar las funciones de antemano.

Zhang dice que han demostrado que estas estructuras alineadas con características crean automáticamente mallas cuádruples visualmente precisas, que se utilizan ampliamente en gráficos de computadora y aplicaciones de realidad virtual.

«Dado que el objetivo del mallado es simplificar simultáneamente el objeto y preservar la precisión del dominio original, esta herramienta permite un nuevo estándar en mallado cuádruple alineado», dijo Zhang.

UNA tercer papel Bajo la dirección del candidato a doctorado David Palmer conecta el trabajo de Zhang y Marschner, avanza la teoría de los campos octaédricos y muestra cómo las mejores matemáticas ofrecen una mejora práctica seria para el mallado hexadecimal.

En física y geometría, las velocidades y los flujos se representan como ‘campos vectoriales’, que unen una flecha a cada punto en un área del espacio. En 3D, estos campos pueden rotar, anudarse e intersectarse de manera notablemente complicada. Para complicar aún más las cosas, la investigación de Palmer estudia la estructura de los «campos de marco», en los que aparece más de una flecha en cada punto.

El trabajo de Palmer proporciona una nueva visión de cómo se pueden describir los marcos y los utiliza para diseñar métodos para colocar marcos en el espacio 3D. Sobre la base del trabajo existente, sus métodos producen campos suaves y estables que pueden guiar el diseño de mallas de alta calidad.

Solomon dice que su equipo se esfuerza por caracterizar en última instancia todas las formas en que los marcos octaédricos se retuercen y se unen para crear estructuras en el espacio.

«Esta es un área genial de geometría computacional donde la teoría tiene un impacto real en la calidad de las herramientas de simulación», dice Solomon.

Palmer menciona organizaciones como Sandia National Labs que realizan simulaciones físicas complicadas con fenómenos como la elasticidad no lineal y la distorsión de objetos. Él dice que los equipos de ingeniería construyen o reparan mallas hexagonales casi a mano incluso hoy en día.

«El software de mallado automático existente a menudo no produce una malla completa, incluso si la guía de campo del marco hace que las piezas de malla que se encuentran por ahí se vean bien», dice Palmer. «Nuestro enfoque completa la imagen».

El artículo de Marschner fue coescrito por Solomon, Zhang y Palmer. El artículo de Zhang fue coescrito por Solomon, Josh Vekhter y Etienne Vouga de la Universidad de Texas en Austin, el profesor David Bommes de la Universidad de Berna en Alemania y el postdoc CSAIL Edward Chien. El artículo de Palmer fue coescrito por Solomon y Bommes. Los trabajos de Zhang y Palmer serán presentados en la conferencia de gráficos por computadora SIGGRAPH a finales de este mes.

Los proyectos fueron apoyados en parte por Adobe Systems, la Oficina de Investigación Científica de la Fuerza Aérea de EE. UU., La Oficina de Investigación del Ejército de EE. UU., El Departamento de Energía de EE. UU., La Fundación Fannie y John Hertz, MathWorks, el Laboratorio de IA MIT-IBM Watson, la Ciencia Nacional Fundación, el Programa Skoltech-MIT Next Generation y el Centro de Investigación Conjunta Toyota-CSAIL.



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